Faktorisasi??

11Y05 – Factorization (Faktorisasi)

Faktorisasi dalam matematika merupakan dekomposisi dari suatu obyek (misalnya bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu obyek lain (dalam hal ini disebut faktor), yang ketika dikalikan bersama akan menghasilkan bilangan asalnya.

Tujuan dari faktorisasi biasanya adalah untuk mereduksi suatu objek menjadi “basic building block” atau “blok pembangunan dasar” nya, seperti bilangan-bilangan prima (untuk bilangan), atau polinomial tak tereduksi (untuk polinomial). Faktorisasi prima diatur oleh teorema dasar aritmatika, sementara faktorisasi polinomial diatur oleh teorema dasar aljabar. Selain itu, terdapat juga rumus-rumus Viète yang mengaitkan koefisien-koefisien suatu polinomial pada akar-akarnya.

1.      Faktorisasi Prima

Faktorisasi prima menggunakan teorema dasar aritmatika sebagai dasar atau landasannya. Teorema dasar aritmatika dikemukakan oleh Euclid sekitar tahun 300 SM dalam bukunya “Elements” bagian IX. Pada bagian ini, Euclid juga mengemukakan ketidak terbatasan bilangan prima.

Teorema dasar aritmatika berbunyi:

“Setiap bilangan komposit merupakan hasil perkalian bilangan-bilangan prima dengan cara yang unik”.

Maksud unik dalam teorema tersebut adalah bahwa untuk setiap anggota bilangan komposit (bilangan bulat positif yang lebih dari 1) hanya dapat dinyatakan dalam satu kombinasi perkalian bilangan prima. Contohnya adalah 11 x 3 = 33. Tidak ada bilangan prima lain selain 11 dan 3 yang bila dikombinasikan dengan perkalian akan menghasilkan 33.

Contoh faktorisasi prima:

200 = 2³ x 5²

164 = 2² x 41

Hingga kini, belum ada algoritma yang efisien untuk menunjukkan faktorisasi non-kuantum. Tahun 2009, dilakukan percobaan faktorisasi bilangan oleh beberapa peneliti yang dipimpin oleh Thorsten Kleinjung. Percobaan tersebut berlangsung lama, yakni sekitar 2 tahun. Padahal, dalam percobaan tersebut telah digunakan ratusan komputer sebagai alat bantunya.

Sifat matematis inilah yang hingga sekarang menjadi dasar algoritma enkripsi berkunci publik RSA. Karena hingga sekarang, belum ditemukan teknik untuk mendapatkan hasil faktorisasi prima yang cepat dan efisien. Karena hal tersebut juga, enkripsi RSA tergolong sangat amandan hanya bisa dibuka dengan cara paksa yang harus memakan waktu bertahun-tahun.

2.      Faktorisasi Polinomial

Faktorisasi Polinomial merupakan proses dekomposisi untuk mengubah bentuk suatu polinomial ke dalam bentuk polinomial tak tereduksi. Faktorisasi polinomial ini merupakan dasar dari sistem aljabar dalam komputer.

Dalam buku Vera Sanford, A Short History of Mathematics, dikemukakan bahwa metode pemfaktoran polinom yang paling sering kita gunakan saat ini merupakan metode pemfaktoran yang paling baru. Karena metode ini baru muncul setelah diperkenalkan oleh Thomas Harriot pada tahun 1631. Harriot meninggal pada tahun 1621, namun bukunya “Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas” dipublikasikan setelah kematiannya. Awalnya Harriot menuliskan sejumlah penjumlahan dan pengurangan seperti (a+b) lalu (a-b), kemudian (a+c) dan seterusnya. Kemudian hHarriot menuliskan bahwasannya (aa-ba+ca) asalnya adalah (a-b)(a+c) dimana ia menggunakan a sebagai variabel nya (sekarang kita biasa menggunakan x). Harriot pun menuliskan seluruh (a±b)(a±c).

Faktorisasi polinomial diatur dalam teorema dasar aljabar yang berbunyi:

“Setiap polinomial berderajat n akan selalu memepunyai akar  sebanyak n di ”

Teorema tersebut pertama kali ditulis oleh Peter Rothe dalam bukunya, Arithmetica Philosophica tahun 1608, dan kemudian dikemukakan lagi oleh Albert Girard dalam bukunya L'invention nouvelle en l'Algèbre pada tahun 1629. Kemudian pada tahun 1799 barulah Gauss berhasil membuktikan teorema tersebut dalam disertasinya.

Selain itu terdapat juga Rumus Vieta yang menyatakan rumus-rumus jumlah dan hasil kali akar-akar pada persamaan polinom. Dengan menggunakan jumlah dan hasil kali ini kita bisa mendapatkan berbagai perhitungan akar-akar walaupun kita tidak mengetahui nilai akar-akarnya. Bentuk-bentuk yang dicari tersebut bisa simetris, bisa juga tidak simetris.

Bentuk Teorema Vieta:

a.       Persamaan Kuadrat

ax² + bx + c = 0

x₁ + x₂ = -b/a

x₁x₂ = c/a

b.      Persamaan Kubik

ax³ + bx² + cx + d = 0

x₁ + x₂ + x₃= -b/a

x₁x₂ + x₁x₃ +  x₂x₃ = c/a

x₁x₂x₃ = -d/a

c.       Persamaan Kuartik

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ =-b/a

x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ +  x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄  = c/a

x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ +x₂x₃x₄ = -d/a

x₁x₂x₃x₄  = e/a

d.      Persamaan Kuintik

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ =-b/a

x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₁x₅ +  x₂x₃ + x₂x₄  + x₂x₅ + x₃x₄ + x₃x₅ + x₄x₅ = c/a

x₁x₂x₃ +x₁x₂x₄ +x₁x₂x₅ +x₁x₃x₄ +x₁x₃x₅ +x₁x₄x₅ +x₂x₃x₄ +x₂x₃x₅ +x₂x₄x₅ +x₃x₄x₅ =-d/a

x₁x₂x₃x₄ +x₁x₂x₃x₅ + x₁x₂x₄x₅ + x₁x₃x₄x₅ + x₂x₃x₄x₅ = e/a

x₁x₂x₃x₄x₅ = -f/a

Referensi

https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization

https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization

https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra

http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf (Factorization of a 768-bit RSA modulus)

https://books.google.co.id/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Perkembangan Matematika di Asia Tenggara

Perkembangan Matematika di Asia Tenggara

Asia Tenggara merupakan daratan di sebelah timur India, sebelah selatan Cina, sebelah barat Papua Nugini, dan sebelah utara Australia. Kini, negara-negara di Asia Tenggara dikenal sebagai negara-negara ASEAN (Association of the Southeast Asian Nations) yang terdiri atas Brunei, Kamboja, Indonesia, Laos, Malaysia, Myanmar, Filipina, Singapura, Thailand, dan Vietnam.

Kerajaan-kerajaan di wilayah ini, sebelum kolonisasi oleh negara-negara Eropa, sangatlah kuat. Spanyol datang ke Cebu, Filipina, sekitar tahun 1521. Portugis tiba di Malaka, Malaysia, tahun 1511, diikuti oleh Beland, dan kemudian Inggris dan Perancis. Seluruh negara di Asia Tenggara, kecuali Thailand, dijajah secara bertahap dari abad keenam belas, hingga abad kesembilan belas.  Negara-negara di Indochina, yakni Vietnam, Laos, dan Kamboja, dijajah oleh Perancis, sementara Myanmar, Singapura, dan Brunei dijajah oleh Inggris. Indonesia dijajah Belanda, dan Filipina dijajah Spanyol, kemudian Amerika Serikat. Batas-batas negara, dipartisi oleh kekuatan negara Eropa-nya, bukan oleh batas alam negara asli.

Sebelum negara-negara Eropa datang ke ASIA Tenggara, pengaruh paling besar berasal dari Cina dan India. Sebagian besar oleh imigran dari Cina, yang melakukan perjalanan ke seluruh dunia, dan berlabuh di Asia Tenggara. Candi Borobudur (candi buddha) di Jawa Tengah merupakan bukti pengaruh India di Indonesia. Kepercayaan Islam menyebar ke Indonesia juga lewat negara bagian di India. Arab, menjadi pelayar dan pedagang, yang juga merupakan pengunjung tetap wilayah tersebut. Sebagai bukti fisik, Arab dan Cina meninggalkan jejak mereka di Dragon’s Teeth Gate, pelabuhan alam di dekat Labrador Park, Singapura.

Para penjajah juga meninggalkan warisan mereka. Contohnya, bahasa Vietnam tercatat dalam bentuk tertulis oleh para imam Katolik dari Perancis. Tagalog, dialek umum di Filipina, mengandung banyak bahasa Spanyol. Bahasa Melayu dan bahasa Indonesia, awalnya ditulis dalam aksara Arab, yang diromanisasi menggunakan bahasa Inggris dan huruf Belanda, ejaannya juga dipadukan bertahun-tahun kemudian.

Ketika itu, sekolah merupakan hak istimewa. Di negara-negara selain Thailand, pendidikan hanya diberikan dalam skala yang kecil oleh pemerintahan kolonis. Setelah lulus, kebanyakan murid-murid sekolah tersebut bekerja untuk pemerintah. Bahasa yang digunakan di sekolah merupakan bahasa yang digunakan oleh pemerintah kala itu, kecuali di Thailand. Matematika merupakan pelajaran paling penting kedua setelah bahasa.

Pada masa itu juga, silabus pembelajaran hampir seluruhnya berasal dari buku teks, yang seringnya berbahasa asing. Buku tersebut biasanya berisi contoh yang diberikan dan dijelaskan oleh gurunya, kemudian latihan yang dikerjakan oleh murid-murid. Contohnya di Singapura, buku yang digunakan salah satunya adalah General Mathematics oleh Durell (1946) dan College Algebra oleh Fine (1904).

Banyak detail yang didapatkan dari negara lain, seperti tabel perkalian terbesar adalah 12 x 12. Selain itu, guru-guru juga direkrut dari negara lain.

Setelah Perang Dunia II, masing-masing negara di kawasan Asia Tenggara merdeka dan tujuan pendidikannya berubah. Pendidikan tidak lagi untuk beberapa tapi untuk semua. Setelah kemerdekaan, setiap negara mengalami masa rekonstruksi dan pembangunan. Energi dihabiskan untuk membangun lingkungan sekolah yang lebih. Awalnya, tingkat penurunan siswa di sekolah cukup tinggi. Banyak siswa tidak menyelesaikan 10 tahun sekolah dan keluar sekolah setelah kelas 8 atau lebih awal.

Siswa yang berencana melanjutkan studi di universitas di Singapura biasanya menghabiskan lebih banyak waktu untuk bermatematika selama hari-hari sekolah mereka daripada siswa lainnya. Karena, dari tahun 1976, sains dan matematika diajarkan dalam bahasa Inggris di semua sekolah di Singapura, meskipun ketika itu tidak sepenuhnya dilaksanakan.

Kesimpulannya, negara-negara Asia Tenggara mengadopsi gaya pendidikan Barat. Setelah Perang Dunia ke-II ketika negara-negar ini merdeka, pengajaran matematika tidak banyak berubah. Hanya saja, penjajahan mempengaruhi perkembangan kebudayaan dalam jalan yang berbeda. Artinya, ada beberapa titik perkembangan yang tidak berkembang karena usaha dalam mempertahankan kebudayaan.

Reformasi Matematika (Math Reforms) dimulai tahun 1960-an di Amerika dan Eropa Barat, dan tahun 1970-an di Asia Tenggara. Komunitas matematika di beberapa negara di wilayah itu kecewa dengan reformasi, itu membuat tanda tak terhapuskan pada kurikulum matematika dan pengajaran matematika di kelas.

Mereka mengatakan, tidak semua negara-negara Asia Tenggara yang terpengaruh. Ketika Viet Cong (Vietnam Utara) memasuki kota Saigon pada tanggal 12 April 1975 dan menamainya Kota Ho Chi Minh, Perang Vietnam dan perjuangan 35 tahun kemerdekaan oleh Vietnam berakhir. Di sisi lain dari Indocina, Myanmar (Burma) tidak bergabung dengan Persemakmuran Inggris setelah kemerdekaan. Maklum, Vietnam, Myanmar, dan tetangga negara di Indochina (kecuali Thailand) tidak terpengaruh Reformasi Matematika.

Reformasi Matematika datang ke Asia Tenggara dalam bentuk silabus baru, buku pelajaran baru, dan pelatihan kembali para guru untuk mengajar matematika yang baru. Acara yang diadakan pertama kali adalah pertama Southeast Asian Conference on Mathematics Education yang diselenggarakan di Manila, Filipina, pada tahun 1978. Tema konferensi ini adalah Reformasi Matematika. Banyak usaha yang diberikan dalam mengorganisir konferensi dan banyak proyek diikuti setelahnya, termasuk produksi buku pelajaran baru.

Perubahan besar terjadi dalam konten. Konsep "set" diperkenalkan pada kelas 7 di Singapura dan di kelas 1 buku di Malaysia. Dalam geometri, istilah "segmen line" digunakan selain untuk istilah "garis," dan "ukuran sudut" digunakan selain untuk "sudut." notasi yang berbeda untuk "minus 3" (-3) dan "negatif 3" (- 3) diadopsi. Hukum komutatif, hukum asosiatif, dan hukum distributif banyak disorot. Sebagian besar istilah-istilah ini menghilang setelah itu, tapi untuk alasan yang baik, istilah "segmen garis" tetap ada, begitu juga diagram Venn. Singkatnya, matematika menjadi lebih terstruktur dan formal. Setiap negara melaksanakan reformasi dengan cara yang berbeda dan untuk berbagai luasan.

Perubahan besar terjadi dalam bidang geometri. Selama berabad-abad, mengajar geometri adalah sama dengan mengajar pembuktian. Pendekatan ini ditinggalkan untuk sebagian besar dan sejumlah transformasi geometri diperkenalkan. Akibatnya, geometri sekolah menjadi tidak geometri transformasi atau geometri klasik, dan gagasan ini berlangsung sampai akhir reformasi. Sebuah usaha telah dilakukan untuk memperkenalkan konsep transformasi ke sekolah dasar. Oleh karena itu, teselasi dimasukkan dalam silabus sekolah dasar.

Mekanik secara bertahap digantikan oleh statistik, dan ada statistik yang lebih dalam "kamp Inggris" daripada di benua "kamp Eropa." Di sekolah menengah, rata-rata dan standar deviasi  termasuk pengujian hipotesis. Statistik juga di sekolah dasar dalam bentuk Piktogram.  tatistik itu mungkin satu-satunya topik dalam silabus baru yang bukan dari abad kesembilan belas.

Pemrograman linier juga termasuk dalam silabus baru sebagai cara untuk menunjukkan bahwa matematika bisa berguna. Untuk membuatnya tersedia untuk siswa sekolah menengah, masalah dalam pemrograman linear adalah dibatasi dua variabel sehingga mereka bisa diselesaikan dengan menggunakan koordinat.

Angka biner tidak dimasukkan. Namun, analisis numerik adalah subjek untuk SMA, namun tidak berlangsung lama. Batang Cuisenaire (blok berwarna) yang digunakan di sekolah dasar untuk mengajarkan empat operasi, meskipun mereka tidak populer. Pada saat ini, aljabar juga pertama-tama muncul di sekolah dasar atas.

Sementara di banyak negara Barat konten baru datang hampir bersamaan dengan beberapa ide metodologis, tidak semua ide-ide ini segera menjadi populer di Asia Tenggara.

Secara spesifik, yang disebut metode penemuan gagal diterima (dalam hal sederhana, metode penemuan adalah pendekatan dimana guru tidak memberikan siswa formula melainkan menawarkan mereka kesempatan untuk menemukan formula sendiri). Metode penemuan, bagaimanapun, berpengaruh lebih lanjut dalam pengembangan dalam pendidikan matematika. Pemecahan masalah adalah pusat dari silabus pada 1980-an dan seterusnya. Di satu sisi, pemecahan masalah adalah semacam penemuan dipandu.

Reformasi Matematika berlangsung selama 12 tahun, berakhir pada awal 1980-an, ketika menyadari mereka tidak bekerja dan harus dihentikan. Meskipun banyak topik baru yang diperkenalkan selama Reformasi Matematika (misalnya Venn diagram dan statistik), pendekatan formal dalam mengajar matematika digantikan oleh yang disebut pemecahan masalah.

Pada saat ini, secara politik, negara-negara ASEAN menjadi lebih bersatu. Dalam ASEAN, ahli matematika dan matematika pendidik juga memiliki kontak yang lebih dekat satu sama lain melalui konferensi dan kunjungan. SEACME diserap ke EARCOME pada tahun 2002, dan yang terakhir masih berlangsung.

PMRI di Indonesia. PMRI singkatan dari Pendidikan Matematika Realistik Indonesia atau Realistis Pendidikan Matematika di Indonesia. Proyek ini dimulai pada tahun 1998 dan menerima pendanaan resmi pada tahun 2001 bersama-sama dengan bantuan pendidik Belanda. Tujuannya adalah untuk membawa perubahan untuk pengajaran di kelas di Indonesia.

Referensi:

Handbook on the History of Mathematics Education (Alexander Karp-Gert Schurbing)

Mtematikawan dari Andalusia

Al-Qurashi
Nama lengkapnya Abu Al-Qasim Al-Qurashi. Dia adalah matematikus kelahiran Seville, Spanyol. Namun, dia mengabdikan separuh hidupnya di Bougie, Afrika Utara sebagai seorang matematikus. Di abad ke-12 - era keemasan Islam di wilayah Maghrib Al-Qurashi terkenal sebagai matematikus yang ahli di bidang Aljabar dan juga pakar ilmu waris.

Jejak hidupnya tak banyak diketahui. Yang jelas, Al-Qurashi meninggal di Bougie pada tahun 1184 M. Meski begitu, kontribusinya dalam pengembangan Aljabar tertoreh dalam tinta emassejarah perkembangan matematika di Afrika Utara. Salah satu pemikirannya yang paling terkenal adalah komentarnya atas buku yang ditulis matematikus Mesir terkemuka abad ke-10 M, Abu Kamil.

Buah pikir Al-Qurashi dalam Aljabar sangat berpengaruh pada sejumlah matematikus di abad berikutnya, seperti Ibnu Zakariya (wafat 1404 M). Pemikiran Al-Qurashi juga turut mempengaruhi matematikus Ibn al-Banna- (wafat 1321 M) untuk menulis Kitab al-'us ul wa-`l-muqaddimat fi-`l-jabrI [Buku dasar-dasar dan persiapan dalam Aljabar).

Al-Hassar
Shaykh Al-Jama'a ( Pemimpin Masyarakat). Itulah julukan yang diberikan masyarakat Muslim Afrika di era kejayaan kepada matematikus bernama Al-Hassar. Riwayat hidupnya memang tak terekam dalam sejarah. Yang jelas, dia adalah seorang ahli matematika yang mengabdikan dirinya di kota Sebta, Maghrib. Jejak hidupnya hanya terekam dalam dua kitab yang masih tersisa hingga kini.

Pertama kali dia menulis kitab bertajuk Kitab al-bayan wat-tadhkar. Kitab itu merupakan semacam buku pegangan tentang penjumlahan angka-angka, operasi aritmatika terkait bilangan dan pecahan. Buku ini begitu fenomenal, sehingga menempati peranan yang sangat penting dalamsejarah matematika di Afrika Utara. Buku matematika kedua yang ditulis Al-Hassar berjudul Al-Kita-b al-kamil fi sina `at al-`adad (Buku lengkap tentang seni ilmu berhitung). Buku ini adalah pengembangan dari kitab pertama yang telah ditulisnya. Seperti halnya Al-Qurashi, buah pikir Al-Hassar juga begitu berpengaruh terhadap matematikus lainnya di abad-abad berikutnya.

Ibnu Al-Yasamin
Setelah menimba ilmu matematika di Seville, Spanyol, Ibnu Al-Yasamin mengembangkan pengetahuannya di Maghrib. Matematikus terkemuka di Afrika Utara pada abad ke-12 M itu juga sempat mengambil studi di Marrakech alias Maroko - ibu kota Kerajaan Al-Mohad. Ibnu Al-Yasamin merupakan ilmuwan yang berkulit hitam.

Ia terkenal lewat Urjuza fi- l-jabr (Syair tentang Aljabar). Selain itu, dia juga sukses menulis dua puisi lainnya tentang matematika. Namun, ketimbang tiga puisi yang dihasilkannya, kitab Talqi-h al-afkar bi rushum huruf al-ghubr dinilai para ahli sejarah sebagai hasil karya Ibnu Al-Yasamin yang paling penting baik dari sisi kualitas maupun kuantitas.
Kitab yang ditulis Ibnu Al-Yasamin itu tebalnya mencapai 200 halaman. Isinya mengupas tentang ilmu penjumlahan serta geometri. Hasil pemikirannya itu banyak mempengaruhi para ahlimatematika Muslim di abad ke-14 M dan 15 M, seperti Ibnu Qunfudh (wafat 1407 M) serta Al-Qalasadi- (wafat 1486 M).

Ibnu Mun`im
Sejatinya Ahmad Ibnu Mun`im terlahir di Denia - pantai barat Spanyol dekat Valencia. Namun, dia menghabiskan sebagian besar hidupnya di Marrakech/ Maroko. Ibnu Mun'im dikenal sebagai spesialis terbaik dalam Geometri dan Teori Ilmu Hitung. Ibnu Mun'im sebenarnya adalah seorang dokter. Namun, dia lebih banyak mengisi waktunya dengan mengembangkan matematika.

Dalam bidang matematika, Ibnu Mun`im telah berhasil mempublikasikan sederet hasil karyanya. Di antra beragam masalah yang dikaji Ibnu Mun'im antara lain; geometri Euclid, penjumlahan, teori ilmu hitung serta pembuatan segi empat besar. Salah satu karyanya yang masih tetap survive hingga kini adalah Fiqh al-hisab (Ilmu Penjumlahan). Uniknya, judul kitab yang ditulisnya tak mencerminkan keberagaman dan kekayaan dari isi bukunya

Paradoks Matematika

Paradoks dalam Matematika

            Matematika tidak selamanya membahas tentang angka. Dalam matematika juga dibahas masalah logika, yang biasanya tersusun atas pernyataan-pernyataan atau premis-premis, serta memiliki nilai kebenaran (benar atau salah).

            Seiring dengan berkembangnya pemikiran manusia, ditemukan banyak premis-premis yang memiliki dua nilai kebenaran sekaligus. Sesuatu yang sama, tapi memiliki nilai kebenaran yang berbeda. Sesuatu yang benar sekaligus salah. Kondisi seperti inilah yang dikenal dengan istilah paradoks.

            Kata paradoks berasal dari bahasa Latin Paradoxum, (para=dengan cara/menurut, doxa=apa yang diterima). Paradoks juga sering disebut Antinomi karena melanggar hukum Principum Contradictionis.

            Contoh sederhananya adalah sebagai berikut:

Misalkan a=b,maka:

a                      =                      b

a²                            =                      ab                    (kedua ruas dikali a)

a²-b²                 =                      ab-b²                (kedua ruas dikurangi b²)

(a+b)(a-b)        =                      b(a-b)               (kedua ruas difaktorkan)

a+b                  =                      b                      (kedua ruas dibagi (a-b))

b+b                  =                      b                      (substitusikan a=b)

2b                    =                      b

2                      =                      1                      (kedua ruas dibagi b)

            Dari contoh tersebut didapatkan bahwa 2=1. Kita tahu hal ini tidak benar karena jelas 2 tidak sama dengan 1. Nmun langkah-langkah di atas sangat struktural. Pada saat pembagian dengan (a-b), sebenarnya kita melakukan pembagian dengan nol, karena a=b, maka a-b=0, sementara dalam matematika, pembagian dengan nol tidak didefinisikan. Jadi, bukti yang terlihat logis di atas sebenarnya adalah salah.

Beberapa jenis paradoks antara lain:

1.      Paradoks Epimenides

Paradoks ini pertama kali diungkapkan oleh Epimenides sekitar abad ke enam masehi. Paradoks Epimenides berbunyi:

            “Epimenides si orang Kreta mengatakan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong.”

Dari pernyataan tersebut, kita dibawa pada dua kesimpulan:

Kesimpulan pertama

-          Jika Epimenides berkata benar, berarti ia bukan pembohong.

-          Jika ia bukan pembohong, berarti yang dikatakannya tidak benar, karena ia adalah orang Kreta.

-          Jika yang ia katakan tidak benar, berarti ia pembohong.

Kesimpulan kedua

-          Jika Epimenides berkata tidak benar, berarti ia pembohong.

-          Jika ia pembohong, berarti yang ia katakan adalah benar, karena ia adalah orang Kreta.

-          Jika yang ia katakan benar, berarti ia bukan pembohong.

2.      Paradoks Russell

Paradoks ini dikemukakan dan dirumuskan oleh Betrand Russell (1872-1969). Isi paradoksnya adalah, bayangkan sorang pemangkas rambut di sebuah desa. Tukang pangkas itu, kata Russell, hanya mencukur orang yang tidak mencukur rambutnya sendiri.

            Dari pernyataan tersebut, jika tukang pangkas mencukur rambut orang di desa itu, dan tidak mencukur rambutnya sendiri, maka tukang pangkas itu seharusnya mencukur rambutnya sendiri. Tapi jika tukang pangkas mencukur rambutnya sendiri, maka ia tidak dapat mencukurnya karena tukang pangkas hanya mencukur orang yang tidak mencukur rambutnya sendiri.

Selain itu contoh paradoks ini dalam konteks matematika adalah misalkan M adalah kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota. Jika M tidak memuat M sebagai anggota, maka M adalah anggota M. Tapi jika M adalah anggota M, maka M harus dikeluarkan dari M, karena syarat keanggotaan M. Artinya, M ∈ M jika dan hanya jika M ∉ M.

3.      Paradoks Galileo

            Terdapat dua lingkaran berpusat sama . Bila lingkaran luar digelindingkan pada suatu garis sejauh satu putaran, sedemikian hingga titik A pada lingkaran luar sampai di B, maka jarak A ke B tentu sama dengan keliling lingkaran luar.

Jika lingkaran dalam menempel pada lingkaran luar, maka lingkaran dalam juga mengalami 1 putaran. Perhatikan bahwa titik C pada lingkaran dalam sampai di D sebagai akibat lingkaran luar yang digelindingkan. Ini berarti CD = keliling lingkaran dalam.

Dari logika di atas, terlihat bahwa CD = AB. Dengan demikian, keliling lingkaran dalam = keliling lingkaran luar.

4.      Paradoks Zeno

a.      Paradoks Dikotomi

“Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertama-tama dia harus menempuh perjalanan setengah jarak. Lalu setelah itu dia mesti menempuh seperempat, seperdelapan, seperenambelas, sepertigapuluhdua … Sedemikian hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga.

Oleh karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda tidak akan dapat sampai tujuan.”

Menurut Zeno, apabila orang hendak berjalan menuju garis finis, maka lintasan jalannya dapat dibagi jadi bagian kecil-kecil. Kemudian supaya bisa lewat, maka bagian kecil-kecil itu harus dijalani satu per satu. Sedemikian hingga pada akhirnya orang sampai garis finis.

Akan tetapi problemnya adalah bahwa yang kecil-kecil itu jumlahnya amat banyak. Malah menurut Zeno jumlahnya mencapai tak-hingga.

Jadi sekarang sudut pandangnya berubah. Kita tahu orang bisa menempuh jarak kecil-kecil, tetapi, bisakah orang menempuh jarak kecil-kecil itu tak berhingga kali?

b.      Paradoks Achilles dan Kura-Kura

“Achilles dan Kura-kura melakukan lomba lari, meskipun begitu, kura-kura diizinkan start lebih awal.

Agar dapat menyamai kura-kura, Achilles menetapkan sasaran ke tempat kura-kura saat ini berdiri.

Akan tetapi, tiap kali Achilles bergerak maju, kura-kura juga bergerak maju. Ketika Achilles sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah berjalan sedikit ke depan.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kura-kura juga sudah maju sedikit lagi.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kura-kura juga sudah maju sedikit lagi. Demikian seterusnya ad infinitum.

Jadi kesimpulannya mustahil bagi Achilles untuk bisa menyamai kura-kura dalam balapan.”

Lewat paradoks ini Zeno menyatakan bahwa “mustahil bagi orang yang telat balapan untuk dapat menyamai lawannya”.

Alasannya? Karena terdapat sejumlah kemajuan kecil-kecil yang tak mungkin dikejar. Setiap Achilles sampai di tempat kura-kura, kura-kura selalu sudah melaju sedikit lagi di depan. Pada akhirnya Achilles digambarkan Zeno sebagai “tak akan mampu melewati kura-kura”.

c.       Paradoks Anak Panah

“Misalnya kita membagi waktu sebagai “deretan masa-kini”. Kemudian kita lepaskan anak panah. Di setiap “masa-kini” anak panah menduduki posisi tertentu di udara.

Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.”

Zeno melihat waktu sebagai rangkaian “masa-kini” yang berkesinambungan. Oleh karena itu sebuah anak panah yang meluncur memiliki berbagai versi “masa-kini” di perjalanannya. Ada “masa-kini” sesaat sesudah lepas dari busur; “masa-kini” setelah beberapa detik di angkasa, dan seterusnya.

Problemnya adalah bahwa di tiap “masa-kini” itu anak panah mendiami tempat yang tetap. Persis seperti kalau direkam kamera video. Di setiap frame tampak berbagai kondisi anak panah. Semua tampak diam. Akan tetapi kalau videonya diputar, barulah terkesan bahwa anak panah itu sebenarnya bergerak.

Jadi di sini ada problem: bahwa anak panah itu “diam” sekaligus “bergerak”.

d.      Paradoks Stadion

“Terdapat tiga buah barisan benda A, B, dan C di lapangan tengah stadion.

Barisan A terletak diam di tengah lapangan. Sementara B dan C masing-masing terletak di ujung kiri dan kanan A.

Kemudian B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak bersejajar dengan barisan A).

zeno-stadium

Antara “Sebelum” dan “Sesudah”, titik C paling kiri melewati dua buah B, tetapi cuma satu buah A.

Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A. Padahal A dan B adalah unit yang identik!

Mungkinkah setengah waktu = satu waktu?”

Dalam paradoks ini, Zeno mengetengahkan bahwa “duabenda yang saling mendekati butuh waktu yang lebih singkat untuk sejajar.”

Referensi: http://matematika-sip.blogspot.co.id/search/label/Paradoks%20Matematika?max-results=5